Conjunto simétrico

En matemáticas, se dice que un subconjunto no vacío S de un grupo G es simétrico si contiene los inversos de todos sus elementos.^[1]​

Definición

En notación de conjuntos, un subconjunto ${\displaystyle S}$ de un grupo ${\displaystyle G}$ se llama simétrico si siempre que ${\displaystyle s\in S}$ entonces el inverso de ${\displaystyle s}$ también pertenece a ${\displaystyle S}$.

En consecuencia, si ${\displaystyle G}$ se escribe multiplicativamente, entonces ${\displaystyle S}$ es simétrico si y solo si ${\displaystyle S=S^{-1}}$ donde ${\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}}$.

Si ${\displaystyle G}$ se escribe de forma aditiva, entonces ${\displaystyle S}$ es simétrico si y solo si ${\displaystyle S=-S}$ donde ${\displaystyle -S:=\{-s:s\in S\}.}$

Si ${\displaystyle S}$ es un subconjunto de un espacio vectorial, entonces se dice que ${\displaystyle S}$ es un conjunto simétrico si es simétrico con respecto a la estructura de grupo aditivo del espacio vectorial; es decir, si ${\displaystyle S=-S}$, lo que sucede si y solo si ${\displaystyle -S\subseteq S}$. La envolvente simétrica de un subconjunto ${\displaystyle S}$ es el conjunto simétrico más pequeño que contiene a ${\displaystyle S}$, y es igual a ${\displaystyle S\cup -S.}$. El conjunto simétrico más grande contenido en ${\displaystyle S}$ es ${\displaystyle S\cap -S}$.

Condiciones suficientes

Las uniones e intersecciones arbitrarias de conjuntos simétricos son simétricas.

Cualquier subespacio vectorial en un espacio vectorial es un conjunto simétrico.

Ejemplos

En ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ejemplos de conjuntos simétricos son los intervalos del tipo ${\displaystyle (-k,k)}$ con ${\displaystyle k>0,}$ y los conjuntos ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ y el intervalo ${\displaystyle (-1,1)}$.

Si ${\displaystyle S}$ es cualquier subconjunto de un grupo, entonces ${\displaystyle S\cup S^{-1}}$ y ${\displaystyle S\cap S^{-1}}$ son conjuntos simétricos.

Cualquier subconjunto equilibrado de un espacio vectorial real o complejo es simétrico.

Véase también

• Conjunto absolutamente convexo
• Conjunto absorbente
• Función equilibrada
• Conjunto equilibrado
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
• Convexidad
• Funcional de Minkowski
• Dominio en estrella

Referencias

Bibliografía

• R. Cristescu, "Topological vector spaces" (Espacios vectoriales topológicos), Noordhoff International Publishing, 1977.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics 8 (Second edición). New York, NY: McGraw Hill Education. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277. 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. 

Enlaces externos

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